Yanıtını Bulmaya Çalışırken Kırk Takla Atacağınız “Madenî Para Döndürme Paradoksu”
Aslında bu paradoksla her gün karşılaşıyoruz, sadece bunun farkında değiliz. Aşikâr ki Amerika’da uygulanan Scholastic Aptitude Test (SAT) imtihanında da bu es geçilmişti. Zira bu paradoksla ilgili bir soru sorulduğunda soruyu hazırlayanlar bile karşılığı yanlış verdiler!
Bir masanın üzerinde madenî bir parayı çevirmek istediğinizde bu çok sıradan üzere görünür; ancak para dönerken, güya aniden iki farklı süratte dönüyormuş üzere görünür. İşte bu duruma biz “madenî para döndürme paradoksu” diyoruz. Gelin biraz ayrıntılarına inelim, bakalım siz de yanlış yanıt mı vereceksiniz?
Amerika’da üniversitelere giriş için yapılan SAT imtihanında bu paradoks ele alınmış.
Bu imtihan, Amerikan vatandaşları ve yabancı öğrenciler ortasında geçerliliği olan memleketler arası bir imtihan. Adaylar; yazılı, kelamlı ve matematiksel olarak değerlendirildikleri, çoktan seçmeli sorularla tasarlanan bir imtihana tabi tutuluyorlar.
1982’deki bu sınavın bir matematik sorusu ise resmen tarihe geçti. Bu soru o kadar zordu ki hiçbir öğrenci hakikat yanıtı bulamamıştı. Hatta soruyu hazırlayanlar bile tam olarak soruyu çözemedi.
Soruyu merak edenleri duyar üzereyiz. Çabucak gösterelim:
Şekilde A çemberinin yarıçapı, B çemberinin yarıçapının 1/3’ü kadardır. Formda gösterilen pozisyonundan başlayarak A çemberi B çemberinin çevresinde yuvarlanmaya başlıyor ve sonrasında da başlangıç noktasına geri dönüyor. Bunun için A çemberinin toplamda kaç tıp atması gerekir?
Her imtihanda olduğu üzere bu imtihanda da sürat kıymetli.
Bu sorunun karşılığı başta size 3 üzere görünmüş olabilir; sonucunda B çemberinin yarıçapının A çemberinin yarıçapının 3 katı olduğundan yola çıkarsak B’nin etrafı de A’nın etrafının 3 katı olacaktır.
Küçük çemberi açıp büyüğün etrafına sarma süreci tam 3 kere gerçekleşirdi. Bu türlü baktığınızda cevap alenen 3 üzere dursa da maalesef siz de elendiniz!
İşin farklı tarafı, başka şıkların hepsi yanlıştı. Doğru karşılık 4’tü ve bu, seçenekler ortasında bile yer almıyordu.
Bu farklı olay daha sonraları “madenî para paradoksu (coin rotation paradox)” olarak isimlendirilmeye başlandı. Zira sorunun sonucu, sezgilere karşıt bir biçimde ortaya çıkması nedeniyle paradoksal bir durumu tabir ediyordu. Bu tıp imtihanlarda küçük detayların ne kadar kıymetli olabileceğini bir kere daha görüyoruz.
Soruyu biraz kolaylaştırırsak şayet…
Masanın üzerine iki tane tıpkı büyüklükteki madenî para koyun. Soldaki para ok yönünde ortadaki paranın etrafında döndürüldüğünde bir tam cins mu, yoksa yarım cins mu döner? Eğer denemeye üşendiyseniz yanıt bir tam çeşit olacak. Yani para, başladığı noktaya geri dönmek için iki tam tıp atmış olacak.
Eğer paranın yarıçapını r olarak kabul edersek paranın merkezinin aldığı yol 1/2×2πx2r=2πr olacaktır. Bu durumda, paranın merkezi etrafında bir cins tamamlaması için para kendi etrafında iki kere dönmelidir.
İki çemberin birbirinin etrafında dönüşü durumunda, hareket hâlindeki çemberin tıp sayısını bulmak için çemberlerin etraflarını oranlamalı ve sonuca 1 eklemelisiniz. SAT sorusunun yanılgısı da buradan kaynaklanıyordu.
Bu durumda, sağdaki madenî para ortadaki paranın etrafında döndürüldüğünde ortadaki para kendi etrafında yalnızca bir tam tıp atar. Yani saat istikametinde döndürülen para, başlangıç noktasına geri dönmek için kendi etrafında yalnızca bir tıp atmış olur. Bu, yapılan hesaplamalardan elde edilen sonuçtur ve paradoksu çözer.
Diğer matematik sorunları için:
